Síkalapok süllyedésszámítása

A sáv- és pilléralapok alatti feszültség- és süllyedésszámítási módszereket ismerhetitek meg a gyakorlati órákon bemutatott mintapéldákon keresztül, interaktív kalkulátorokkal.

Tárgy Alapozás BSc · BMEEOGMAT45

Útmutató ehhez az anyaghoz

A felső sávban a fő fejezetek között válthatsz, az alattuk megjelenő almenüvel pedig az adott fejezet szakaszai között. A bevezetésen túl három tartalmi fejezet épül egymásra:

A számítás menete — a süllyedésszámítás négy lépése: feszültségeloszlás, alakváltozások számítása, határmélység meghatározása és az alakváltozások összegzése. Itt ismerheted meg a három feszültségszámítási módszer elvét — Kögler (egyenes vonalas szétterülés), Jáky (háromszög-feszültségábra) és Kany (karakterisztikus pont alatti, táblázatos) — interaktív ábrákkal és élő demóval.
Mintapéldák — hét részletesen levezetett gyakorlati példa: MP1 Kögler-féle feszültségszámítás; MP2–MP4 Jáky-süllyedés ödométeres modulussal; MP5–MP6 Jáky-süllyedés kompressziós görbével; MP7 Kany-féle lamellás módszer. Mindegyikhez a gyakorlati anyag alapján rekonstruált ábra, lépésről-lépésre megoldás és saját kalkulátor tartozik.
Kalkulátorok — a három módszer (Kögler, Jáky, Kany) önálló, részletes kalkulátora. Állítható az alaptest típusa és geometriája, valamint a kétréteges talajprofil (rétegvastagság, térfogatsúly, ödométeres modulus); az ábra léptékhelyesen, valós időben frissül, és a program a határmélységet és az ödométeres süllyedést is kiszámítja.

A csúszkák és a beviteli mezők valós időben frissítik az ábrákat és az eredményeket — érdemes kísérletezni a paraméterekkel. A határmélységet Jáky szerint a Jáky-képlet, Kögler és Kany esetén az n = 5 szabály adja.

A számítás menete

A süllyedésszámítás négy lépésből áll, függetlenül attól, melyik feszültség-módszert használjuk. A négy lépést — a fenti almenüben külön-külön elérve — az alábbiakban részletesen tárgyaljuk, mindegyikhez magyarázó ábrákkal.

1. lépés — Feszültségeloszlás meghatározása

A süllyedést az alaptest által a talajra átadott többletfeszültség okozza — ezt kell először meghatározni az alapsík alatti különböző mélységekben. Három eljárást mutatunk be: a rugalmasságtani alapú, pontos Kany-módszert, majd két közelítő, feltételezett feszültségeloszláson alapuló eljárást — a Kögler- és a Jáky-módszert.

Kiindulás — talpfeszültség, geosztatikus feszültség, többletfeszültség

A végtelen féltérben egy egyenletesen megoszló teher alatt a feszültség egy adott függőlegesben a mélységgel nem változik. Véges kiterjedésű alaptestek alatt azonban a feszültség az alaptest szélei felől oldalirányban is terjed, így az alaptest alatt a mélységgel fokozatosan csökken, és egy idő után gyakorlatilag zérus lesz.

σ_talp = G_z,k / (B · L)  — átlagos talpfeszültség (a teher tartalmazza az alaptest és a ráhordott talaj önsúlyát is)
σ_g = Σ γ_i · h_i  — geosztatikus (önsúly-) feszültség az alapsíkon
σ_z,0 = p₀ = σ_talp − σ_g  — a süllyedést okozó többletfeszültség az alapsíkon

A süllyedés szempontjából csak a többletfeszültség (σ_z,0, sok forrásban p₀) számít — vagyis amit az alaptest a természetes önsúly-feszültségen felül ad át a talajnak. Ha alapgödröt, pinceteret emelünk ki, akkor a kitermelt talaj tehermentesít, ezért ezt is le kell vonni: σ_z,0 = σ_talp − t₀·γ, ahol t₀ a kiemelés mélysége.

A) Kany-módszer — rugalmasságtani alapon (pontos számítás)

A derékszögű négyszög alaptest karakterisztikus pontja alatt számított feszültségeloszlást nevezzük a Kany-módszernek. A bonyolult levezetés közvetlen használata nehézkes, ezért az eredményeket grafikon, illetve táblázat formájában szokás megadni és használni.

Miért a karakterisztikus pont?

Egyenletes terhelés esetén a négyszög alaptest alatt a középpont süllyedése a legnagyobb, az oldalfelezőké kisebb, a sarokpontoké a legkisebb. Ezt a felszín-meggörbülést csak a végtelen hajlékony alap követné; a merev alap megtartja a síkját, és átlagos süllyedése e süllyedések súlyozott átlaga. Létezik egy olyan pont — a karakterisztikus pont (Grasshof) —, amely alatt számítva a süllyedés egyaránt megfelel a hajlékony és a merev alap átlagos süllyedésének. Ezért a süllyedésszámításnál mindig a karakterisztikus pont függőlegesében keletkező (átlag-) feszültségeket használjuk.

A Kany-féle feszültségszámítási módszer gyakorlati használata

Az alábbi táblázat a σ_z/p₀ arányt (a többletfeszültség leépülését) adja meg két viszonyszám függvényében:

z/B — a vizsgált pont alapsík alatti mélysége osztva a kisebbik alapmérettel (B = a kisebbik alapszélesség)
B/L — a két alapméret aránya: B/L = 0 sávalapnál, B/L = 1 négyzetes pilléralapnál

Kiszámítjuk a z/B és B/L viszonyszámokat, a táblázatból kikeressük a hozzájuk tartozó σ_z/p₀ szorzótényezőt — a táblázott értékek között lineárisan interpolálunk —, végül a keresett feszültség: σ_z = (σ_z/p₀) · p₀.

Karakterisztikus pont alatti feszültség (σ_z/p₀)

z/B	B/L=0 (sáv)	0,20	0,40	0,60	0,80	1,00 (négyzet)
0,00	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
0,05	0,990	0,990	0,989	0,988	0,985	0,981
0,10	0,945	0,944	0,941	0,932	0,918	0,898
0,20	0,826	0,824	0,804	0,770	0,731	0,694
0,30	0,739	0,730	0,689	0,637	0,593	0,557
0,40	0,677	0,660	0,601	0,544	0,502	0,470
0,50	0,630	0,603	0,532	0,477	0,438	0,409
0,60	0,590	0,553	0,477	0,425	0,389	0,362
0,80	0,524	0,469	0,392	0,348	0,316	0,289
1,00	0,467	0,399	0,290	0,290	0,260	0,234
1,50	0,360	0,278	0,226	0,193	0,166	0,144
2,00	0,288	0,206	0,163	0,134	0,111	0,094
3,00	0,203	0,128	0,095	0,072	0,057	0,047
4,00	0,155	0,088	0,060	0,044	0,034	0,028
5,00	0,125	0,065	0,041	0,029	0,023	0,018
6,00	0,113	0,056	0,035	0,024	0,020	0,015
7,00	0,100	0,047	0,029	0,020	0,016	0,013
8,00	0,088	0,039	0,023	0,016	0,013	0,010
10,00	0,063	0,021	0,011	0,008	0,006	0,005
15,00	0,050	0,015	0,007	0,005	0,004	0,003
20,00	0,032	0,006	0,003	0,002	0,001	0,001

A táblázat a görbesereg egyes pontjait adja meg; a felsorolt z/B és B/L értékek között lineárisan interpolálunk. Sávalap esetén a B/L = 0 oszlopot használjuk.

Gyakorlati alkalmazás — lamellákra osztás (Kany-féle lamellás módszer):

Az alaptest alatt közvetlenül 20 cm-es lamellák — sávalapnál 2B mélységig, pontalapnál kb. 1–1,5B-ig (itt a legnagyobb a feszültséggradiens)
Mélyebben 40 cm-es lamellák — egészen a határmélységig
Lamellaváltás kötelező rétegváltásnál és a talajvízszintnél is
Minden lamellára a középvonalbeli z-vel kikeressük a Kany-szorzót, abból σ_z, majd a lamella átlagfeszültsége és összenyomódása (lásd 2. lépés)

B) Kögler-módszer — egyenes vonalakkal határolt zárt tartomány

Közelítő, gyors módszer, főleg sávalapokra. Az alaptest szélétől induló határoló egyenesek (z = 0 vonalak) a függőlegessel α szöget zárnak be, mélységben nincs lehatárolás. A módszer feltételezi, hogy a határoló vonalak között bármely z mélységben a feszültség egyenletes. A feszültség így a mélységgel α-szögben szétterül.

A feszültség a mélységgel α-szögben szétterül, a tartományon belül egyenletes. Függőleges vetületi egyensúlyból (a B szélességű alapsíkra jutó erő = a B+2z·tan α szélességű síkra jutó erő):

Sávalap: σ_z = σ_z,0 · B / (B + 2·z·tan α)
Pontalap (kétirányú feszültségterjedés): σ_z = σ_z,0 · B·L / [(B + 2·z·tan α) · (L + 2·z·tan α)]

α = φ (tg α = 0,5) klasszikus feltételezés; a hazai gyakorlatban inkább α = 45° terjedt el. α = 30° is használatos.

Korlátai: egyszerű és gyors, de durva közelítés — a tartományon belül egyenletes feszültséget feltételez a valós parabolikus eloszlás helyett. A pontalapos képlettel sok esetben csak nagy hibával lehet számolni, ezért az a gyakorlatban nem használatos. A módszer önmagában nem ad határmélységet.

C) Jáky-féle eljárás

A valós feszültségeloszlást sokkal jobban közelítő, a hazai gyakorlatban elterjedt módszer. A Jáky-eljárás meghatároz egy határmélységet (m₀), amely alatt az alaptestből származó feszültség már zérus; eddig a mélységig a feszültség lineárisan csökken. Mivel az alaptest teljes szélességében a feszültség azonos, függőleges értelemben háromszög-eloszlású — ezért a süllyedés egyszerűen, akár fejben is számolható.

A feszültség az alapsíktól a határmélységig háromszög-hasonlóság szerint csökken, a határmélységen elérve a zérust. A határmélységet a Jáky-elmélet az alapméretekből adja meg:

Határmélység: m₀ = 2·B·(1 − B/(2·L))
Feszültség z mélységben: σ_z = σ_z,0 · (m₀ − z) / m₀
Oldalsó feszültségterjedés: ξ = B·z / (m₀ − z)

Eset	m₀	Megjegyzés
Sávalap (L → ∞)	2·B	B/L → 0
Négyzetes pilléralap (L = B)	B	B/L = 1
Téglalap pilléralap (B < L)	2·B·(1 − B/(2L))	általános alak

A számítás menete lépésről lépésre

Határmélység (m₀) — az alapméretekből: m₀ = 2·B·(1 − B/(2·L)). Sávalapnál (L → ∞) m₀ = 2B; négyzetes pilléralapnál (L = B) m₀ = B.
Feszültség adott z mélységben — a feszültségábra az alapsíktól a határmélységig lineárisan fut zérusra, így háromszög-hasonlóságból:
σ_z / σ_z,0 = (m₀ − z) / m₀ ⟹ σ_z = σ_z,0 · (m₀ − z) / m₀
Az oldalsó feszültségterjedés (ξ) levezetése — függőleges vetületi egyensúlyból. Az alapsíkon a B szélességen átadott erő megegyezik a z mélységben kialakuló feszültségábra területével. Ez az ábra egy B szélességű plató (σ_z) és két oldalt egy-egy ξ szélességű háromszög (½·σ_z·ξ):
B·σ_z,0 = B·σ_z + 2·(½·σ_z·ξ) = σ_z·(B + ξ)
σ_z behelyettesítése: B·σ_z,0 = σ_z,0·(m₀ − z)/m₀ · (B + ξ)
σ_z,0-lal egyszerűsítve: B = (m₀ − z)/m₀ · (B + ξ)
átrendezve: B + ξ = B·m₀ / (m₀ − z)
ebből ξ értéke: ξ = B·m₀/(m₀ − z) − B = B·z / (m₀ − z)
A feszültségábra megrajzolása — a kapott σ_z és ξ értékekkel az alaptest szélein lévő függőlegesek közötti tartomány bármely z mélységben felrajzolható. A karakterisztikus pont függőlegesében a feszültség végig azonos (az alaptest teljes szélességében), így függőleges értelemben háromszög-eloszlású — ezért a süllyedés egyszerűen, akár fejben is számolható (lásd 2. és 4. lépés).

A Jáky-módszernél a határmélység automatikusan adódik, és a háromszög-eloszlás miatt a süllyedés egyszerűen számolható. Ezért lett a hazai gyakorlatban népszerű — különösen a kompressziós görbével vagy az összenyomódási modulussal kombinálva (lásd 2. és 4. lépés).

🎯 Mini-demo — Kögler vs. Jáky feszültségeloszlás

Állítsd a paramétereket: hogyan változik a feszültség (σ_z) a mélységgel a két módszer szerint egy sávalap alatt?

B (alapszélesség): 2.0 m

σ_z,0 (kPa): 180 kPa

α (Kögler szög, fok): 45 °

2. lépés — Alakváltozások számítása

Az alaptest alatti feszültségeloszlás ismeretében a következő lépés a feszültségekből származó függőleges alakváltozások — az összenyomódások — meghatározása. Ezt rétegenként, a rétegeken belül pedig lamellánként végezzük: minden réteg/lamella középvonalában meghatározzuk az átlagos feszültségnövekményt, majd ebből az alakváltozást.

A feszültség–alakváltozás összefüggés lehet lineáris vagy nemlineáris. Lineáris esetben a talajt lineárisan rugalmasnak tekintjük, és a kompressziós görbét egy adott feszültségtartományban egyenessel helyettesítjük — ez elsősorban a tömör szemcsés talajokra (kavics, homok) áll. Két alapvető eljárást használunk: az összenyomódási modulust, illetve közvetlenül a kompressziós görbét.

A) Számítás összenyomódási modulussal

Δε_z = Δσ_z,átl / E_oed

A réteg (vagy lamella) átlagos feszültségnövekményét osztjuk a réteg összenyomódási (ödométeres) modulusával, E_oed-vel. A modulust egy adott feszültségtartományban egyetlen állandó értékkel közelítjük — ez különösen szemcsés talajoknál jó közelítés. A módszer egyszerű és gyors, ezért a gyakorlatban ez a leggyakoribb.

Példa: ha egy réteg átlagos feszültségnövekménye Δσ_z,átl = 92 kPa, és E_oed = 15 MPa = 15 000 kPa, akkor Δε_z = 92 / 15 000 = 0,00613.

B) Számítás kompressziós görbével

Pontosabb eljárás, mert figyelembe veszi, hogy a talaj merevsége a feszültséggel változik — a modulus nem állandó. Minden talajréteghez tartozik egy kompressziós görbe, amely a fajlagos alakváltozást (ε) a függőleges feszültség (σ_z) függvényében adja meg. A görbe kezdetben meredek (kis feszültségnél nagy az összenyomódás), majd fokozatosan ellaposodik.

A számítás menete egy réteg középvonalára:

A réteg kompressziós görbéjének vízszintes tengelyére felmérjük a réteg középvonalában működő kezdeti (önsúly-) feszültséget, σ_z0,átl — ezzel vesszük figyelembe, hogy a réteg az építkezés előtt sem volt terheletlen.
Ennek folytatásaként felmérjük az építmény által keltett átlagos feszültségnövekményt, Δσ_z,átl; a réteg új feszültsége így σ_z0,átl + Δσ_z,átl.
A függőleges tengelyen leolvassuk a kezdeti és az új feszültséghez tartozó fajlagos alakváltozást — a kettő különbsége a réteg terhelés okozta alakváltozása:

Δε_z = ε(σ_z0,átl + Δσ_z,átl) − ε(σ_z0,átl)

Nemlineáris viselkedés esetén a kompressziós görbét szemilogaritmikusan, a kompressziós index (C_c) segítségével közelítjük:

Δε_z = C_c / (1 + e₀) · lg[(σ_z0 + Δσ_z) / σ_z0]

ahol e₀ a réteg kezdeti hézagtényezője. Túlterhelt, puha kövér agyagoknál és szerves talajoknál indokolt.

Fontos: a kompressziós görbe használatakor mindig a réteg kezdeti feszültségéből kell kiindulni — nem csak a feszültségnövekményt vesszük figyelembe. Az alakváltozás a görbéből: az új feszültségnél leolvasott érték mínusz a kezdeti feszültségnél leolvasott érték.

🎯 Mini-demo — Δε számítása Δσ-ból és E_oed-ből

Mennyi alakváltozás keletkezik egy lamellában adott feszültségnövekménynél?

Δσ_átl: 100 kPa

E_oed: 10 MPa

lamella vtg.: 0.4 m

3. lépés — Határmélység meghatározása

Általánosan elfogadott

m₀: σ_z = σ_z,0/n, n = 5 vagy 10

EC7 magyar nemzeti melléklet: n = 5.

Jáky ajánlása

m₀ = 2·B·(1 − B/(2L))

Sávalap: 2B; négyzetes pontalap: B.

Gyakorlati megfontolásból

m₀ = kemény réteg felszínén (ha határmélység előtt eléri).

Lemezalapnál (B > 10 m)

m₀ = 2/3·B … 1/2·B felvétele indokolt.

Miért kell határmélység? A σ_z(z) függvények a z = ∞ helyen adnak zérust, ezért a teljes integrál végtelen lenne. A tapasztalat szerint a süllyedés véges — a határmélység alatt a feszültség nem okoz további szemcsemozgást (a súrlódási küszöb miatt).

🎯 Mini-demo — Határmélység

Hol metszi a σ_z görbe a σ_g/n vonalat? Változtasd a paramétereket és figyeld, hogyan változik m₀ egy sávalap esetén (n = 5)!

B (m): 1.5 m

σ_z,0 (kPa): 250 kPa

γ (kN/m³): 18 kN/m³

4. lépés — Alakváltozások összegzése

s = ∫₀^{m₀} ε_z(z) dz ≈ Σ (réteg vastagság) · Δε_z,átl

A gyakorlatban általában trapéz-szabállyal integráljuk: az egyes lamellák vastagsága × a lamella átlagos alakváltozása. A süllyedés [m]-ben adódik, eredménynek mm-ben szokás megadni.

Két-réteges példa (Jáky-féle eset)

Adott egy két rétegből álló talajprofil, az alapsík alatti határmélységig:

Δσ_AS = σ_z,0 az alapsíkon
Δσ_m0 = 0 a határmélységen
Δσ_RH = Δσ_AS · (m₀ − Δz_RH) / m₀ a réteghatáron (lineáris interpoláció)
Réteg-átlagok: Δσ_átl,1 = (Δσ_AS + Δσ_RH)/2; Δσ_átl,2 = (Δσ_RH + 0)/2
Alakváltozás: Δε_i = Δσ_átl,i/E_oed,i
Süllyedés: s = (t₁−h)·Δε₁ + (m₀−(t₁−h))·Δε₂

3. Határmélység meghatározása

A határmélység (m₀) az a mélység, amely alatt a többletfeszültség már nem okoz mérhető alakváltozást — a szemcsék közötti súrlódási küszöböt nem haladja meg a feszültségnövekmény.

Miért szükséges a határmélység?

A σ_z(z) feszültségfüggvények z → ∞-nél adnak 0-t, így a süllyedés-integrál végtelen lenne. A tapasztalat ezt nem mutatja — bizonyos mélység alatt a feszültség már nem okoz szemcsemozgást.

Három módszer m₀-ra

Általánosan elfogadott (n-szabály)

m₀: Δσ_z(m₀) = σ_g/n

n = 5 (EC7 magyar nemzeti melléklet)
n = 10 (más nemzeti mellékletek)

Jáky ajánlása

m₀ = 2·B·(1 − B/(2L))

Sávalapnál (L → ∞): m₀ = 2B; négyzetes pilléralap (L = B): m₀ = B

Gyakorlati megfontolás

m₀ = kemény réteg felszínén, ha az határmélység előtt elérjük.

Lemezalapnál (B > 10 m): m₀ = 2/3·B … 1/2·B felvétele indokolt.

Példák

Alaptest	B (m)	L (m)	m₀ Jáky szerint
Sávalap	1,5	→ ∞	2·1,5 = 3,00 m
Téglalap pilléralap	2,0	3,0	2·2·(1−2/6) = 2,67 m
Négyzet pilléralap	1,2	1,2	2·1,2·(1−1,2/2,4) = 1,20 m
Téglalap pilléralap	1,2	3,0	2·1,2·(1−1,2/6) = 1,92 m

4. Alakváltozások számítása

A lamellánkénti vagy rétegenkénti függőleges alakváltozás (Δε) számítása a feszültségnövekmény és a talaj rugalmassági paramétere segítségével.

Három módszer Δε-ra

1. Ödométeres modulussal (a leggyakoribb)

Δε_z = Δσ_z,átl / E_oed

A réteg átlagos feszültségnövekményét osztjuk a réteg ödométeres modulusával. E_oed a talajra jellemző konstans (MPa nagyságrend).

Pl. 1. réteg: Δσ_átl = 92 kPa, E_oed = 15 000 kPa → Δε = 92/15 000 = 0,00613

2. Kompressziós görbével (pontosabb)

Δε_z = ε(σ_kezdeti + Δσ_átl) − ε(σ_kezdeti)

A görbéből leolvassuk az új és kezdeti feszültséghez tartozó alakváltozást — a különbség az adott rétegnek a teher miatti alakváltozása. Ez figyelembe veszi, hogy a modulus a feszültséggel változik (nem konstans).

3. Hooke-törvénnyel (rugalmasságtan)

Δε_z = (1/E)·[Δσ_z − μ·(Δσ_x + Δσ_y)]

Akkor használandó, ha a vízszintes feszültségnövekmény is ismert (pl. Boussinesq alapján). E és μ (Poisson) értékek kellenek.

Kapcsolat: E_oed = E·(1−μ)/(1−μ−2μ²)

Összegzés a süllyedéssé

s = ∫₀^{m₀} ε_z(z) dz ≈ Σ_i h_i · Δε_i

A gyakorlatban trapéz-szabállyal integrálunk: minden lamella vastagsága × a lamella átlagos alakváltozása. Az eredmény mm-ben adódik.

Tipp: a Mintapéldák fülön (MP2-MP7) láthatod, hogy különböző helyzetekben (1 réteg, 2 réteg, kompressziós görbe, Kany-lamellás) hogyan érvényesülnek ezek a módszerek konkrét számokkal.

Mintapéldák

Hét részletesen levezetett mintapélda a gyakorlati anyag szerint — feszültségszámítás Kögler szerint, süllyedésszámítás Jáky szerint ödométeres modulussal és kompressziós görbével, valamint a Kany-féle lamellás módszer. Mindegyik példához ábra, lépésről-lépésre megoldás és önálló kalkulátor tartozik.

Mintapélda 1 — Feszültségszámítás Kögler-módszerrel

Feladat

Egy alaptest alsó síkján σ_z,0 = 180 kPa nagyságú többletfeszültség adódik át a talajra. Az alaptest szélessége B = 2,5 m, az α szétterülési szög α = 45°. Számítsd ki a függőleges többletfeszültség (σ_z) értékét z = 1, 2 és 4 m mélységben az alapsík alatt:

(a) sávalap esetén
(b) L = 3,5 m hosszú pontalap esetén

MP1

Ábra

Megoldás

Sávalap: σ_z = σ_z,0 · B / (B + 2·z·tan α)
Pontalap: σ_z = σ_z,0 · B·L / [(B + 2·z·tan α) · (L + 2·z·tan α)]

α = 45° → tan α = 1, így (B + 2z) szélesség adódik a mélységgel.

(a) Sávalap, B = 2,5 m:

z = 1 m: σ_z = 180 · 2,5 / (2,5 + 2·1) = 180 · 2,5/4,5 = 100,00 kPa
z = 2 m: σ_z = 180 · 2,5 / (2,5 + 4) = 180 · 2,5/6,5 = 69,23 kPa
z = 4 m: σ_z = 180 · 2,5 / (2,5 + 8) = 180 · 2,5/10,5 = 42,86 kPa

(b) Pontalap, B = 2,5 m, L = 3,5 m:

z = 1 m: σ_z = 180 · 2,5 · 3,5 / (4,5 · 5,5) = 1575/24,75 = 63,64 kPa
z = 2 m: σ_z = 180 · 8,75 / (6,5 · 7,5) = 1575/48,75 = 32,31 kPa
z = 4 m: σ_z = 180 · 8,75 / (10,5 · 11,5) = 1575/120,75 = 13,04 kPa

Megfigyelés: ugyanolyan alapszélességnél a pontalap (kétoldali szétterülés) sokkal gyorsabban "építi le" a feszültséget, mint a sávalap (egyoldali). z = 4 m mélységben pl. a pontalap σ_z-je csak ~13 kPa, a sávalapé még mindig ~43 kPa.

Kalkulátor

Kögler-feszültség — MP1

Kögler

Bemenetek

σ_z,0kPa

Lsávalapra ≥ 100m

α°

Mélységek (m)

Vesszővel elválasztva:

Mód

Mintapélda 2 — Süllyedés Jáky-módszerrel, ödométeres modulussal

Feladat

Pilléralap, B = 2 m, L = 3 m, alaptest magasság h = 1 m. A terhelés G_z,k = 820 kN (az alaptest és a felette lévő talaj önsúlyát is tartalmazza). A terepszint 0,00 mRel, az alapsík −1,00 mRel mélységben van, a réteghatár −2,20 mRel (az alapsík alatt 1,20 m). A talajvíz mélyfekvésű.

1. réteg: γ = 18 kN/m³, E_oed,1 = 15 MPa
2. réteg: γ = 18 kN/m³, E_oed,2 = 5 MPa

Határozd meg a határmélységet Jáky szerint, és számítsd ki az alaptest süllyedését az ödométeres modulusok segítségével.

MP2

Ábra

Megoldás lépésről-lépésre

1. Talpfeszültség és többletfeszültség

σ_talp = G_z,k/(B·L) = 820/(2·3) = 136,67 kPa
σ_g = γ·h = 18·1 = 18 kPa
σ_z,0 = Δσ_AS = σ_talp − σ_g = 118,67 kPa

2. Határmélység (Jáky)

m₀ = 2·B·(1 − B/(2L)) = 2·2·(1 − 2/6) = 2,67 m

3. Δσ a réteghatáron (Δz_RH = 1,20 m alapsík alatt)

Δσ_RH = Δσ_AS · (m₀ − Δz_RH)/m₀ = 118,67 · (2,67 − 1,20)/2,67 = 65,33 kPa

4. Réteg-átlagok és alakváltozások

1. réteg: Δσ_átl,1 = (118,67 + 65,33)/2 = 92,00 kPa; Δε₁ = 92,00/(15·1000) = 0,00613

2. réteg: Δσ_átl,2 = (65,33 + 0)/2 = 32,67 kPa; Δε₂ = 32,67/(5·1000) = 0,00653

5. Süllyedés rétegenként

Δs₁ = 1,20·0,00613 = 7,4 mm

Δs₂ = (2,67 − 1,20)·0,00653 = 9,6 mm

Eredmény: s = Δs₁ + Δs₂ = 17,0 mm ✓

Kalkulátor

Jáky + E_oed — MP2

Jáky

Geometria

Δz_RHalapsík alattm

G_z,kkN

Talajok

γ₁kN/m³

E_oed,1MPa

E_oed,2MPa

Mintapélda 3 — Mit változtat a 2× teher?

Feladat

Az MP2-vel azonos pilléralap és talajprofil, de a függőleges teher kétszeresére nő: G_z,k = 1640 kN. Mennyi lesz a süllyedés?

MP3

Megfigyelés: mivel az alaptest geometriája azonos, az m₀ = 2,67 m határmélység változatlan. A talpfeszültség viszont kétszereződik, és a többletfeszültség (σ_z,0) is hasonló mértékben nő.

Ábra

Megoldás

1. Új feszültségek

σ_talp = 1640/(2·3) = 273,33 kPa; σ_z,0 = 273,33 − 18 = 255,33 kPa

Δσ_RH = 255,33 · (2,67−1,20)/2,67 = 140,56 kPa

2. Rétegátlagok és alakváltozások

Δε₁ = (255,33+140,56)/2 / 15 000 = 197,95/15 000 = 0,0132

Δε₂ = 140,56/2 / 5 000 = 70,28/5 000 = 0,01413

3. Süllyedés

Δs₁ = 1,20·0,0132 = 15,8 mm

Δs₂ = 1,47·0,01413 = 20,8 mm

Eredmény: s = 36,6 mm ✓ — a teher 2×-zésére a süllyedés ~2,15×-re nőtt (a geosztatikus konstans, így σ_z,0 > 2×-szeresére nő).

Kalkulátor

Jáky + E_oed — MP3

Jáky

Geometria

Δz_RHm

G_z,kkN

Talajok

γ₁kN/m³

E_oed,1MPa

E_oed,2MPa

Mintapélda 4 — Mit változtat a keskenyebb alaptest (B = 1,2 m)?

Feladat

Az MP3-mal azonos terhelés (G_z,k = 1640 kN), de a szélesség B = 1,2 m-re csökken (L = 3 m). Hogyan alakul a süllyedés?

MP4

Két ellentétes hatás:

Kisebb felület → nagyobb talpfeszültség, azaz σ_z,0
Kisebb B → kisebb m₀ határmélység, vagyis az integrálási tartomány csökken

A két hatás majdnem kiegyenlíti egymást — az össz-süllyedés alig változik.

Ábra

Megoldás

1. Új geometria és feszültség

m₀ = 2·1,2·(1 − 1,2/6) = 1,92 m

σ_talp = 1640/(1,2·3) = 455,56 kPa; σ_z,0 = 455,56 − 18 = 437,56 kPa

Δσ_RH = 437,56·(1,92−1,2)/1,92 = 164,09 kPa

2. Alakváltozások

Δε₁ = (437,56+164,09)/2 / 15 000 = 0,0200

Δε₂ = 164,09/2 / 5 000 = 0,0164

3. Süllyedés

Δs₁ = 1,20·0,0200 = 24,0 mm

Δs₂ = (1,92−1,20)·0,0164 = 11,8 mm

Eredmény: s = 35,8 mm ✓ — alig változik az MP3-hoz képest (36,6 mm)!

Kalkulátor

Jáky + E_oed — MP4

Jáky

Geometria

Δz_RHm

G_z,kkN

Talajok

γ₁kN/m³

E_oed,1MPa

E_oed,2MPa

Mintapélda 5 — Süllyedés Jáky-módszerrel, kompressziós görbével

Feladat

Sávalap, B = 1,5 m, alapsík mélysége h = 1,2 m (alapsík −1,2 mRel). A terhelés G_z,k = 1100 kN/m. A réteghatár −2 mRel (az alapsík alatt 0,8 m). Mindkét réteg γ = 18 kN/m³ térfogatsúlyú; az alakváltozás a megadott kompressziós görbével jellemezhető. Talajvíz mélyfekvésű.

MP5

Ábra

A feladathoz megadott kompressziós görbék

Megoldás

1. Talpfeszültség és többletfeszültség

σ_talp = 1100/(1,5·1) = 733,3 kPa; σ_g = 18·1,2 = 21,6 kPa; σ_z,0 = Δσ_AS = 711,7 kPa

2. Határmélység (sávalap → m₀ = 2·B)

m₀ = 2·1,5 = 3,0 m

Δσ_RH = 711,7·(3,0−0,8)/3,0 = 521,9 kPa

3. Kezdeti átlagfeszültség minden rétegben

1. réteg középvonal (alapsík alatt 0,4 m): σ_z0,átl,1 = γ·(h + (t₁−h)/2) = 18·(1,2+0,4) = 28,8 kPa

2. réteg középvonal (alapsík alatt (0,8+3)/2 = 1,9 m): σ_z0,átl,2 = 18·3,1 = 55,8 kPa

4. Növekmény átlagok

Δσ_átl,1 = (711,7+521,9)/2 = 616,8 kPa

Δσ_átl,2 = (521,9+0)/2 = 261,0 kPa

5. Alakváltozás a kompressziós görbéből

1. réteg: ε(28,8) → ε(28,8+616,8) = ε(645,6); a görbéből leolvasva pl. Δε₁ ≈ 0,020

2. réteg: ε(55,8) → ε(55,8+261,0) = ε(316,8); leolvasva Δε₂ ≈ 0,008

6. Süllyedés

Δs₁ = 0,8·0,020 = 16 mm

Δs₂ = 2,2·0,008 = 18 mm

Eredmény: s ≈ 34 mm ✓

Kalkulátor

Jáky + kompressziós görbe — MP5

kompr.

Geometria

Δz_RHm

G_z,kkN

γ₁kN/m³

γ₂kN/m³

Kompressziós görbe (σ:ε, vesszővel)

1. réteg:

2. réteg:

Mintapélda 6 — Sávalap más talajprofillal, kompressziós görbével

Feladat

Sávalap, B = 1,3 m, alapsík mélysége h = 0,7 m. A terhelés G_z,k = 900 kN/m. A réteghatár −1,2 mRel (az alapsík alatt 0,5 m). Mindkét réteg γ = 20 kN/m³. A két réteghez tartozik egy-egy ödométeres alakváltozási táblázat. Talajvíz mélyfekvésű.

MP6

Ábra

A feladathoz megadott ödométeres alakváltozási táblázat

σ (kPa)	0	20	50	100	200	300	400	600	800
ε₁ (%) — 1. réteg	0,00	0,20	0,50	0,80	1,00	1,10	1,20	1,30	1,35
ε₂ (%) — 2. réteg	0,00	0,56	1,40	2,00	2,40	2,70	2,90	3,20	3,40

Megoldás (átlag-feszültségek és kompressziós leolvasás)

1. Talpfeszültség és többletfeszültség

σ_talp = 900/(1,3·1) = 692,3 kPa; σ_g = 20·0,7 = 14 kPa; σ_z,0 = 678,3 kPa

2. Határmélység (sávalap)

m₀ = 2·B = 2,6 m

Δσ_RH = 678,3·(2,6−0,5)/2,6 = 547,9 kPa

3. Kezdeti és végső átlagfeszültségek

1. réteg középvonal alapsík alatt 0,25 m → σ_z0,átl,1 = 20·(0,7+0,25) = 19 kPa

2. réteg középvonal: σ_z0,átl,2 = 20·(0,7+0,5+1,05) = 45 kPa

Δσ_átl,1 = (678,3+547,9)/2 = 613,1 kPa

Δσ_átl,2 = 547,9/2 = 274,0 kPa

4. Alakváltozás a kompressziós görbéből (példa-értékek)

1. réteg: ε(19) ≈ 0,002, ε(632) ≈ 0,012 → Δε₁ ≈ 0,010

2. réteg: ε(45) ≈ 0,012, ε(319) ≈ 0,027 → Δε₂ ≈ 0,015

5. Süllyedés

Δs₁ = 0,5·0,010 = 5 mm

Δs₂ = 2,1·0,015 = 32 mm

Eredmény: s ≈ 37 mm (a görbék pontos leolvasásától függően)

Kalkulátor

Jáky + kompr. görbe — MP6

kompr.

Geometria

Δz_RHm

G_z,kkN

γ₁kN/m³

γ₂kN/m³

Kompressziós görbe (σ:ε)

1. réteg:

2. réteg:

Mintapélda 7 — Süllyedés Kany-féle lamellás módszerrel

Feladat

Négyzetes pontalap, B = L = 1,2 m, alapsík −1,00 mRel (h = 1,0 m). A terhelés G_z,k = 450 kN. Két réteg írható le az altalajban:

1. réteg (kavicsos homok, alapsík alatt 0–2,4 m): γ = 20 kN/m³, E_oed,1 = 15 MPa
2. réteg (iszapos homok, alapsík alatt 2,4 m-től): γ = 20 kN/m³, E_oed,2 = 5 MPa

Határozd meg a süllyedést a Kany-féle karakterisztikus pont alatti módszerrel, lamellákra osztva!

MP7

Ábra

Megoldás

1. Talpfeszültség és többletfeszültség

σ_talp = 450/(1,2·1,2) = 312,5 kPa; σ_g (h = 1,0 m, γ = 20) = 20 kPa

p₀ = σ_talp − σ_g = 292,5 kPa

2. Lamellák kijelölése

Pontalapra a felső 1–1,5·B sávban 0,2 m vastag lamellák, mélyebben 0,4 m. A talajréteg-határnál (alapsík alatt 2,4 m) is lamellaváltás.

3. Kany-szorzók és lamella feszültségek

Minden lamella alsó síkján: Δσ_z(z) = (Kany-szorzó) · p₀. A szorzókat a B/L = 1,0 oszlopból olvassuk le.

Pl. z = 0,2 m → z/B = 0,167 → szorzó interpolációval ≈ 0,762 → Δσ_z = 222,9 kPa

z = 0,4 m → z/B = 0,333 → szorzó ≈ 0,528 → Δσ_z = 154,4 kPa

…és így tovább.

4. Határmélység meghatározása

m₀ ott, ahol Δσ_z = σ_g/n (n = 5). Itt ≈ 3,30 m (a kavicsos rétegben a 2,4 m-es réteghatáron már átlépve).

5. Lamella alakváltozások

Δε_lamella = Δσ_z,átl / E_oed · 1000 (átlag az alsó és felső lamella-sík feszültségből)

Δs_lamella = lamella vastagság × Δε. Az összes lamella süllyedés összegzése.

Eredmény: s ≈ 19,1 mm (a kalkulátor a teljes lamella-táblázatot kiírja)

Kalkulátor

Kany lamellás — MP7

Kany

Geometria és terhelés

h_alapm

G_z,kkN

n—

h_tvvíz térszín alattm

Rétegek (térszíntől_aljáig_m, γ, γ_sat, E_oed)

Részletes kalkulátorok

A három feszültségszámítási módszer önálló, interaktív kalkulátora. Mindegyiknél állítható az alaptest típusa és geometriája, valamint két talajréteg vastagsága, térfogatsúlya és ödométeres modulusa. A csúszkák mozgatására az ábra léptékhelyesen, valós időben újrarajzolódik; a program kiszámítja a határmélységet és az ödométeres süllyedést is.

Kögler-módszer

Egyenes vonalakkal határolt, α szögben szétterülő zárt tartomány. A határmélységet az n = 5 szabály adja: ahol a többletfeszültség a geosztatikus feszültség ötödére csökken.

Jáky-módszer

Háromszög (lineáris) feszültségábra: a feszültség az alapsíktól a határmélységig 0-ra csökken. A határmélységet a Jáky-képlet adja: m₀ = 2·B·(1 − B/(2·L)).

Kany-módszer

A karakterisztikus pont alatti feszültség a Kany-táblázatból (z/B és B/L függvényében). A határmélységet az n = 5 szabály adja.

Síkalapok süllyedésszámítása

Útmutató ehhez az anyaghoz

A számítás menete

1. lépés — Feszültségeloszlás meghatározása

Kiindulás — talpfeszültség, geosztatikus feszültség, többletfeszültség

A) Kany-módszer — rugalmasságtani alapon (pontos számítás)

Miért a karakterisztikus pont?

A Kany-féle feszültségszámítási módszer gyakorlati használata

Karakterisztikus pont alatti feszültség (σz/p0)

B) Kögler-módszer — egyenes vonalakkal határolt zárt tartomány

C) Jáky-féle eljárás

A számítás menete lépésről lépésre

🎯 Mini-demo — Kögler vs. Jáky feszültségeloszlás

2. lépés — Alakváltozások számítása

A) Számítás összenyomódási modulussal

B) Számítás kompressziós görbével

🎯 Mini-demo — Δε számítása Δσ-ból és E_oed-ből

3. lépés — Határmélység meghatározása

Általánosan elfogadott

Jáky ajánlása

Gyakorlati megfontolásból

Lemezalapnál (B > 10 m)

🎯 Mini-demo — Határmélység

4. lépés — Alakváltozások összegzése

Két-réteges példa (Jáky-féle eset)

3. Határmélység meghatározása

Miért szükséges a határmélység?

Három módszer m0-ra

Általánosan elfogadott (n-szabály)

Jáky ajánlása

Gyakorlati megfontolás

Példák

4. Alakváltozások számítása

Három módszer Δε-ra

1. Ödométeres modulussal (a leggyakoribb)

2. Kompressziós görbével (pontosabb)

3. Hooke-törvénnyel (rugalmasságtan)

Összegzés a süllyedéssé

Mintapéldák

Mintapélda 1 — Feszültségszámítás Kögler-módszerrel

Feladat

Ábra

Megoldás

Kalkulátor

Kögler-feszültség — MP1

Bemenetek

Mélységek (m)

Mintapélda 2 — Süllyedés Jáky-módszerrel, ödométeres modulussal

Feladat

Ábra

Megoldás lépésről-lépésre

1. Talpfeszültség és többletfeszültség

2. Határmélység (Jáky)

3. Δσ a réteghatáron (ΔzRH = 1,20 m alapsík alatt)

4. Réteg-átlagok és alakváltozások

5. Süllyedés rétegenként

Kalkulátor

Jáky + Eoed — MP2

Geometria

Talajok

Mintapélda 3 — Mit változtat a 2× teher?

Feladat

Ábra

Megoldás

1. Új feszültségek

2. Rétegátlagok és alakváltozások

3. Süllyedés

Kalkulátor

Jáky + Eoed — MP3

Geometria

Talajok

Mintapélda 4 — Mit változtat a keskenyebb alaptest (B = 1,2 m)?

Feladat

Ábra

Megoldás

1. Új geometria és feszültség

2. Alakváltozások

3. Süllyedés

Kalkulátor

Jáky + Eoed — MP4

Karakterisztikus pont alatti feszültség (σ_z/p₀)

Három módszer m₀-ra

3. Δσ a réteghatáron (Δz_RH = 1,20 m alapsík alatt)

Jáky + E_oed — MP2

Jáky + E_oed — MP3

Jáky + E_oed — MP4

2. Határmélység (sávalap → m₀ = 2·B)

Rétegek (térszíntől_aljáig_m, γ, γ_sat, E_oed)